Het niveau van de hier behandelde onderwerpen loopt uiteen van 'elementair' tot 'zeer gevorderd', maar nergens wordt méér voorkennis ondersteld dan in WVN voorkomt. Verwijzingen naar WVN hebben de gedaante [§n/m], met §n voor de eerste en §m voor de tweede editie.
*
In WVN worden geen axioma's gebruikt, de opbouw is geheel 'constructief'. In de brochure 'Axiomatische opbouw' worden, als alternatief, de reële getallen afgeleid uitgaande van de axioma's van Peano voor de natuurlijke getallen. In de aanvulling 'Axiomatische verzamelingenleer' worden, op hun beurt, de axioma's van Peano bewezen uitgaande van de 'diepste' fundering die de hedendaagse wiskunde kent, namelijk verzamelingenleer. Door deze twee aanvullingen aaneen te schakelen verkrijgt men de reële getallen als onderdeel van de verzamelingenleer.
'Middelbare' aanvullingen
Aanvullingen over onderwerpen die voorkwamen in het middelbaar wiskundeprogramma:
- Complement van Meetkunde (september 2019, 43 blz) Centrale projectie, deelverhouding, dubbelverhouding. Stellingen van Pappus, Pascal, Brianchon, Ceva, Menelaus.
- Het regelmatig twaalfvlak en twintigvlak (februari 2023): eenvoudiger dan in WVN. Steunt op twaalf punten op een boloppervlak: de noordpool, de zuidpool, en tien punten gekozen op tien halve lengtecirkels en twee breedtecirkels.
- Vier stellingen uit de rekenkunde (versie 2, augustus 2023, 9 blzn) Stellingen van Fermat, Wilson, Lagrange, Gauss. Fermat-priemgetallen.
'Hogere' aanvullingen
Langere brochures:
- Integratie (december 2018, 39 blzn) Algemeenste behandeling van Riemann-integreerbare functies van één reële veranderlijke. Elementen van formele logica, volledigheid van de reële getallen, monotone deelrijen, compactheid, nulverzamelingen, Cantorverzamelingen, Lipschitz-continuïteit, supremum, infimum. Onderintegraal, bovenintegraal, algemene primitieve. Hoofdstelling: elke Riemann-integreerbare functie kan berekend worden m.b.v. algemene primitieven. Een begrensde maar niet-integreerbare functie.
- Axiomatische opbouw (versie 4, april 2022, 77 blzn) De axioma's van Peano. Natuurlijke, gehele, rationale, reële en complexe getallen. Decimale voorstelling van reële getallen.
- Lebesguemaat (juni 2023, 38 blzn) Open, gesloten, compacte verzamelingen. Uitwendige maat, meetbare verzamelingen, Borelverzamelingen. Invariantie onder translatie en rotatie.
- De kwadratuur van de cirkel (versie 2, juli 2023, 35 blzn) Uitbreidingen van het rationaal getallenveld, construeerbare getallen. Complexe afgeleiden, complexe veeltermen, de complexe exponentiële. Veeltermen in meerdere veranderlijken, symmetrische veeltermen. Stelling van Lindemann: er bestaat geen enkele veelterm met gehele coëfficiënten waarvan π een nulpunt is. Benaderde cirkelkwadratuur volgens Ramanujan.
Kortere aanvullingen:
- Reeks van Fourier (oktober 2016, 6 blzn) Hulpstelling van Riemann, stuksgewijze Lipschitz-functies, gemiddelde sprongwaarde. Toepassing: 𝜁(2).
- Afgeleiden van tweede orde (oktober 2016, 5 blzn) Afgeleide van tweede orde, Peano-afgeleide van tweede orde, Riemann-afgeleide van tweede orde.
- De torus (mei 2020, 5 blzn) Stelling van Villarceau over een vlak dat een torus snijdt volgens twee cirkels met dezelfde straallengte.
- Taylor (mei 2020, 4 blzn) Afgeleiden van hogere orde, Taylorveelterm, Taylorontwikkeling, Maclaurinontwikkeling.
- Wallis-Stirling (mei 2020, 5 blzn) Formule van Wallis in de gedaante van een boven- en ondergrens, formule van Stirling in de gedaante van de limiet van een rij.
- Cayley-Hamilton (versie 2, october 2023, 5 blzn) Complexe matrices, getransponeerde, adjunct, inverse. Stelling van Cayley-Hamilton.
- Dini-afgeleiden (november 2021, 5 blzn) Uitgebreide reële getallenverzameling, algemeen infimum en supremum. De vier Dini-afgeleiden. Het teken van de Dini-afgeleiden en het lokaal gedrag van de functie.
- Determinant van een product (versie 2, october 2023, 6 blzn) Singuliere matrix, elementaire rijbewerkingen, elementaire matrix. Determinant van het product van twee matrices.
- De formule van Euler voor de zetafunctie (april 2022, 4 blzn) De 𝜁-functie als convergente reeks. Formule van Euler voor de 𝜁-functie als oneindig product gevormd met de priemgetallen.
- Het product van Euler voor de sinus (mei 2022, 4 blzn) Formule van Euler voor de sinus ontbonden in oneindig veel factoren.
- De rotatiestelling van Euler (versie 2, oktober 2023, 6 blzn) Orthonormale matrices, lineaire transformatie bepaalde door een matrix. Stelling van Euler over de orthonormale matrix met determinant 1 als kenmerkend voor een rotatie om een rechte door de oorsprong.
- Gulden getallen (maart 2023, 4 blzn) T-gulden en T-Fibonaccigetallen, die zich voor T=1 herleiden tot het gulden getal en de Fibonaccigetallen. Alle basiseigenschappen.
- De complexe zetafunctie (mei 2023, 4 blzn) Complexe reeksen. De complexe 𝜁-functie als complexe reeks convergerend voor Re(z)>0 behalve z=1.
- Moore-Penrose veralgemeende inverse (oktober 2023, 12 blzn) Vectoren, genormeerde vectoren, orthonormale vectoren, lineair onafhankelijke vectoren. kKarakteristieke vergelijking, eigenwaarden, eigenvectoren. Reële symmetrische matrix, orthonormale matrix, diagonaliseren. Ontbinding van een matrix volgens singuliere waarden, Veralgemeende inverse van Moore-Penrose.
- Hyperreële getallen (januari 2024, 11 blz) Lemma van Zorn afgeleid uit het keuze-axioma. Filter, basisfilter, uitbreidende filter. Maximale uitbreidende filter, hyperreële getallen als strikte uitbreiding van het totaal geordend veld van de reële getallen. Oneindig grote en oneindig kleine getallen.
- Stelling van Cantor (februari 2025, 3 blz) Bijectie, gelijkmachtige verzamelingen. Stelling van Cantor over de gelijkmachtigheid van een vierkant en zijn zijde.
- Axiomatische verzamelingenleer (versie 2, maart 2025, 10 blzn) Alfabet, termen en formules van ZF (Zermelo, Fraenkel). Axioma's van ZF, paradox van Russell. Inductieve verzamelingen, natuurlijke getallen. Koppels. Het keuze-axioma.
Grote Stellingen:
- Meetkunde zonder liniaal (november 2016, 6 blzn) Stelling van Mohr: elk punt van het vlak dat men kan construeren met passer en liniaal kan men ook construeren met de passer alleen.
- Meetkunde zonder passer (mei 2020, 6 blzn) Stelling van Poncelet-Steiner: elk punt van het vlak dat men kan construeren met passer en liniaal kan men ook construeren met de liniaal alleen, op voorwaarde dan men beschikt over één enkele cirkel en zijn middelpunt.
- De stelling van Hausdorff-Banach-Tarski-Robinson (versie 2, februari 2023, 14 blzn) Vier relaties tussen vier getallen. Vier onafhankelijke rotaties. Verdeling van een boloppervlak in equivalentieklassen. Verdeling van een boloppervlak in twee stukken X,Y, waarvan X kan verdeeld worden in twee stukken die elk congruent met X zijn, en Y in twee stukken die elk congruent met Y zijn. Verdeling van een boloppervlak in vier stukken en een punt. Verdeling van een volle bol in vier stukken en een punt op het oppervlak. Stelling van Hausdorff-Banach-Tarski-Robinson: een bol kan zo verdeeld worden in vier stukken en een punt op het oppervlak, dat de geroteerde vier stukken en het getranslateerde punt twee keer de oorspronkelijke bol vormen.
- De stelling van Gauss over regelmatige veelhoeken (augustus 2023, 12 blzn) De Gaussiaanse perioden, product van perioden. Stelling van Gauss: is p>4 en een Fermat-priemgetal, dan is cos 2π/p construeerbaar. Gevolg: als n het product is van een macht van 2 met onderling verschillende Fermat-priemgetallen, dan is een regelmatige n-hoek construeerbaar met passer en liniaal. Uitwerking voor de 17-hoek.
- De stelling van Wantzel (versie 3, augustus 2023, 11 blzn) Grootste gemene deler van veeltermen, rationale, gehele, monische en priemveeltermen. Algebraïsche getallen. Euclidische deling van veeltermen. Stelling van Eisenstein en stelling van Gauss over het ontbinden van een gehele veelterm. Velduitbreidingen van de rationale getallen. Meetkunde in het complexe vlak. Stelling van Wantzel over constructies die onmogelijk zijn met passer en liniaal: verdubbeling van een kubus, driedeling van een willekeurige hoek, een regelmatige n-hoek die niet aan de voorwaarde van Gauss voldoet.
