Toelichting
(eerder verschenen in Wiskunde en Onderwijs)
Wiskunde vanaf nul is een boek van 650 bladzijden in A4-formaat, met als ondertitel: de essentie van middelbare rekenkunde, algebra, analyse en meetkunde, van de grond af en zonder axioma's opgebouwd. Ik was er in 2016 mee klaar en stelde het dan ter beschikking van de belangstellenden. Veel zijn dat er niet, zoals ik al wist toen ik eraan begon, zes jaar geleden. ‘Ter beschikking’ zou kunnen betekenen dat het pdf-bestand op het internet staat, waar iedereen het kan downloaden. Dat is niet zo, en de redenen daarvoor zijn niet van commerciële aard. Het is dus een ingebonden boek, waarvoor men moet betalen. Hieronder zullen wij deze en enkele andere keuzes i.v.m. het curiosum WVN toelichten.
WVN is een zeer verre uitloper van de vakantiecursus Wiskunde voor wiskundigen van de Universiteit Gent (versie 2010 hier). Zoals de titel aangeeft was die cursus gericht op toekomstige wiskundigen, bij wie een bepaalde aanleg en een uitgesproken belangstelling verondersteld mogen worden. Er ging dus geen aandacht naar het ‘leuke’ en ‘toepasbare’, maar uitsluitend naar een ordelijk overzicht van een kern van wiskundige kennis. Eigenlijke theorie bevatte de vakantiecursus niet, en in 2010 vatte ik het idee op, die cursus aan te vullen met ‘echte’ theorie, die een afzonderlijk boek zou gaan vormen. Het doelpubliek was hetzelfde: leerlingen met aanleg voor wiskunde, die met genoegen zouden zien hoe hun middelbare schoolwiskunde, die iets weg heeft van een bungalowpark, zou herrijzen als renaissancebouwwerk.
Voor een wiskundige bestaat ‘wiskunde’ uit stellingen, die met de nodige strengheid bewezen worden. Nu, volledig strenge theorieën vindt men enkel in teksten van formele logica, waar het wiskundig systeem op zichzelf het onderwerp is. Buiten dit beperkte vakgebied is men minder strikt. Vaak vernoemt men wel de axioma's maar niet de gebruikte logica, en laat men na, aan te tonen dat de axioma's elkaar niet tegenspreken. Een voorbeeld daarvan is het voortreffelijke Grundlagen der Analysis (1930) waarin Edmund Landau reële en complexe getallen zeer minutieus afleidt uit de axioma's van Peano voor de natuurlijke getallen. In WVN is alle formele logica vermeden en vindt men geen enkel axioma. In feite zijn de axioma's voor de natuurlijke getallen, die Landau wél geeft, vervangen door een eenvoudig model. Natuurlijke getallen worden voorgesteld door streepjes, en de opvolger van een getal heeft gewoon een streepje meer.
De hedendaagse lezer, die vertrouwd is met een elektronisch rekenblad, zal geen moeite hebben om zich een lege cel voor te stellen (‘nul’), in de cel daarnaast een streepje (‘een’), enzovoort. Dit rekenblad met één enkele oneindig lange rij cellen is het fundament van WVN. Vandaar begint een zo goed als lineaire ontwikkeling; er zijn eigenlijk geen onderdelen die op een andere plaats zouden kunnen staan dan daar waar zij staan. Die hele ontwikkeling is aritmetisch, in de traditie van Fermat, Descartes en Weierstrass. Meetkunde is uitsluitend en onmiddellijk ‘analytische meetkunde’, zijnde ‘visueel geïnterpreteerde analyse’. Sinus en cosinus zijn reeksen van getallen, en zij krijgen hun meetkundige interpretatie via de cosinusregel. De oppervlakte van een vlakke figuur, ook van een simpele driehoek, is een integraal (wat eigenlijk al zo is sedert Archimedes). En, hoewel de onderwerpen uit het middelbare wiskundecurriculum komen, de behandeling daarvan leidt soms tot ver daarbuiten. Reële getallen worden ingevoerd via hun decimale voorstelling, maar hoe telt men twee reële getallen, elk met oneindig veel cijfers na de komma, op? Of: hoe weet men dat een reële veelterm altijd te ontbinden is in lineaire en kwadratische factoren? Of: hoe weet men dat een continue functie altijd primitieven heeft? enzovoort. Deze en andere vragen van die aard worden beantwoord, ook al kost dat enige moeite.
Uit dit alles volgt dat WVN ongeschikt is als handboek voor het middelbaar onderwijs; het kan hoogstens nuttig zijn als achtergrond voor de (geïnteresseerde) leerkracht. Met deze vaststelling verdwijnt ook de mogelijkheid van een commercieel uitgegeven boek-in-de-boekhandel. Commerciële bedoelingen waren er toch niet bij, dus waarom niet gewoon op het internet, waar iedereen het kan downloaden? Op het scherm oogt het, met zijn rode steunkleur, zoveel fraaier, het is gemakkelijk doorzoekbaar en m.b.h. actieve verwijzingen kan men gemakkelijk heen- en terugspringen. Dat zouden goede argumenten zijn als het om een tekst van enkele bladzijden ging, en dan nog: velen zouden de bladzijden afdrukken, want wiskunde verwerkt men zoveel beter op papier. Maar absoluut niemand zou 650 bladzijden wiskunde op een scherm lezen, en afdrukken nog veel minder. Men zou er enkele bladzijden, hoogstens een hoofdstuk, uit afdrukken. Op die manier zou het hele opzet—een systematische lineaire ontwikkeling—verloren gaan. Dat is de reden waarom het één ingebonden materieel volume is. Ook wie de lectuur beperkt tot de enkele onderdelen van zijn keuze heeft dan tenminste constant ‘voeling’ (letterlijk) met wat de visie is die overgebracht wil worden. Om over het resultaat te oordelen kan men de criteria aanwenden die de Romeinse architect Vitruvius geformuleerd heeft voor bouwwerken in steen: doordacht, solide en mooi.
*
